Как найти параметры параболы по результатам измерений?

Поводом для написания этой заметки стала беседа с коллегой по работе, который сделал измерения двух взаимосвязанных величин, нанес их на плоскость и заметил, что они напоминают часть параболы. Он попросил найти аппроксимацию, максимально близко располагающуюся около точек измерения.

Предположим мы сделали несколько не очень точных измерений каких-то двух, скорее всего взаимосвязанных физических величин и результаты нанесли на плоскость в виде точек. Эти результаты на плоскости напоминают какую-то кривую, возможно параболу, как же ее найти?

Решение.

Запишем уравнение параболы в виде:

${y=a_0+a_1x+a_2x^2}$

А результаты изменений произвольно пронумеруем и занесем в таблицу:

Номер измерения i	Результат измерения величины x	Результат измерения величины y
1	x₁	y₁
2	x₂	y₂
…	…	…
N	*x_N*	*y_N*

Нумерация точек может быть произвольной, главное сохранить пары точек $[x_i,y_i]$ .

Для удобства данные можно занести в Microsoft Excel

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares) Parabolic Interpolation

Файл с данным примером в формате Excel можно скачать тут: Data.xls.

Данные подготовлены. А что дальше? Как найти параметры параболы $a_0, a_1, a_2$ , располагающейся максимально близко ко всем точкам одновременно? Понятно, что если количество точек больше трех и точки имеют случайную составляющую (или попросту говоря шум измерения) провести параболу через все точки одновременно в общем случае невозможно.

На языке математики указать, что точка с номером $i$ должна быть максимально близко к параболе можно так:

${a_0+a_1x_i+a_2x^2_i-y_i \to 0}$

Для того чтобы указать на то, что бы все $N$ точек оказаться максимально близко к параболе можно воспользоваться выражением:

${S(a_0,a_1,a_2) = \displaystyle\sum_{i=1}^N{{(a_0+a_1x_i+a_2x^2_i-y_i)}^2} \to 0}$

Которое обозначает что сумма квадратов «несоответствия» всех точек должна быть минимальна. В этом и заключается суть Метода Наименьших Квадратов (МНК), по-английски метод называется the Method of Least Squares. Данный метод можно назвать основным для обработки статистических данных и определения корреляции.

Последнее выражение фактически обозначает, что если каким-то образом можно подобрать коэффициенты $a_0, a_1, a_2$ так, чтобы сумма $S(a_0, a_1, a_2)$ окажется минимальной, то задача будет решена. Можно найти коэффициенты $a_0, a_1, a_2$ простым перебором или угадать, можно применить какие либо иные, более или менее эффективные численные методы, а можно найти точное аналитическое решение.

Выберем последний путь, так как он позволяет получить наиболее точное решение при минимуме вычислительных затрат.

Из математического анализа известно, что минимум функции находится в точке, где производная этой функции равна нуля. Наша функция $S(a_0, a_1, a_2)$ зависит от трех параметров и не может быть отрицательной, так как под суммой выражение в квадрате. Найдем частные производные от $S(a_0, a_1, a_2)$ по $a_0, a_1, a_2$ и приравняем каждую из них к нулю. Получим три уравнения которые должны быть решены совместно:

Метода Наименьших Квадратов (Least Squares)